如图（5），已知
为不在同一直线上的三点，且
，
.
(1)求证:平面
//平面
；
(2)若
平面，且
,
,
求证：A1C丄平面AB1C1
(3)在（2）的条件下，求二面角C1-AB1 -C的余弦值.
如图（5），已知为不在同一直线上的三点，且，
.
(1)求证:平面//平面；
(2)若平面，且,,
求证：A1C丄平面AB1C1
(3)在（2）的条件下，求二面角C1-AB1 -C的余弦值.
解：（1）证明：∵
且
∴四边形
是平行四边形，
∴
,∵
面，
面
∴平面，
同理可得
平面,又
,
∴平面//平面
(2)证法1：
∵平面，
平面∴平面
平面，
平面
平面=
，
∵
,
,
∴
∴
∴
平面
∴
，∵
∴
又
,
得为正方形，∴
又
,
∴A1C丄平面AB1C1
【证法2：∵,, ∴ ∴，
∵平面， ∴
平面
以点C为原点，分别以AC、CB、CC1所在的直线为x、y、z轴建立空间
直角坐标系如图示，由已知可
,
,
则
,
∵
∴
又
∴
平面
.
(3)由（2）得
设平面
的法向量
，则由
得
，
令
得
由（2）知
是平面的法向量，∴
,
即二面角C1-AB1 -C的余弦值为
.
（其它解法请参照给分）