如图（1）所示，直角梯形
中，
，
，
，
．过
作
于
，
是线段
上的一个动点．将
沿
向上折起，使平面
平面
．连结
，
，
（如图（2））．
（Ⅰ）取线段的中点
，问：是否存在点，使得
平面
？若存在，求出
的长；不存在，说明理由；
（Ⅱ）当
时，求平面和平面
所成的锐二面角的余弦值．
如图（1）所示，直角梯形中，，，，．过 作于，是线段上的一个动点．将沿向上折起，使平面平面．连结，，（如图（2））．
（Ⅰ）取线段的中点，问：是否存在点，使得平面？若存在，求出 的长；不存在，说明理由；
（Ⅱ）当时，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．
Ⅰ）存在．当
为
的中点时，满足平面；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）是否存在性问题，常假设存在去分析，寻找到结果后可转化为证明题；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角大小的关系求出答案。
试题解析：（Ⅰ）存在．当为的中点时，满足平面．………1分
取
的中点
，连结
，
．
由
为
的中点，得
，且
，……2分
又
，且
，
所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，……………………4分
故
．……………………………………………5分
又
平面，
平面，
所以平面． ………………………………6分
从而存在点，使得平面，此时
．……………… 7分
（Ⅱ）由平面平面，交线为，且
，
所以
平面，又
，………………………………8分.Com]
以E为原点，分别以
为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间
直角坐标系（如图），则
，
，
，
，
．…………………………………………………………10分
，
．…………………………………11分
平面的一个法向量为
， ……………………12分
设平面的法向量为
，
由
得
………………………………………13分
取
，得
， ……………………………………………14分
所以
，
即面和平面所成的锐二面角的余弦值为．……………15分
考点：存在性问题、求二面角的大小。