(1)求证:△AOB不是直角三角形;
(2)当l的斜率为
时,抛物线上是否存在点C,使△ABC为直角三角形且B为直角(点B位于x轴下方)?若存在,求出所有的点C;若不存在,说明理由.
(1)求证:△AOB不是直角三角形;
(2)当l的斜率为时,抛物线上是否存在点C,使△ABC为直角三角形且B为直角(点B位于x轴下方)?若存在,求出所有的点C;若不存在,说明理由.
进而xAxB=·
=1.
又|OA|·|OB|cos∠AOB=
·
=xaxb+yayb=1-4=-3＜0,
得∠AOB为钝角,故△AOB不是直角三角形.
(2)由题意得AB的方程为x-2y-1=0,代入抛物线y2=4x,
求得A(9+4
,4+2
),B(9-4
,4-2
),
假设抛物线上存在点C(t2,2t),使△ABC为直角三角形且C为直角,
此时,以AC为直径的圆的方程为(x-xa)(x-xc)+(y-ya)(y-yc)=0,将A、B、C三点的坐标代入得(-8
)(9-4
-t2)+(-4
)(4-2
-2t)=0,
整理得t2+t-(11-5
)=0,
解得t1=2-
对应点B,t2=-3+
对应点C,
则存在C(14-6
,-6+2
)使△ABC为直角三角形.
故满足条件的点C有一个:C(14-6
,-6+2
).