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某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10 cm和30 cm的钢管,需要先

某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10 cm和30 cm的钢管,需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧.问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长?(打结部分不计,结果化简后可用π和根式表示)

答案

思路分析：

本题综合应用圆与圆的有关知识.求公切线的长、弧长等知识.实际上,要想把钢管全部扎紧就是要求出钢管对应的圆的渐开线的长度.

解：设大、小管的轮廓线分别为⊙O1和⊙O2,如图所示.

依题意,两圆外切,设切点为P.两圆的外公切线与⊙O1和⊙O2分别切于A,B,E,F.连结O1A,O2B,作O2C⊥O1A于点C,则O1C=O1A-CA=O1A-O2B=20,O1O2=30+10=40.

在Rt△O1O2C中,O2C=

∴AB=.

又,

∴∠AO1O2=60°,∠AO1E=120°.

∴的长==40π.

的长=.

∴钢丝的长=2AB+的长+的长=2×＋40π+=+.

∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要+（cm）.

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