已知椭圆
（
）的左、右焦点分别为点
，其离心率为
，短轴长为
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过点
的直线
与椭圆交于
两点，过点
的直线
与椭圆交于
两点，且
，证明：四边形
不可能是菱形.
已知椭圆（）的左、右焦点分别为点，其离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，证明：四边形不可能是菱形.
试题解析：
（1）由已知，得
，
，
又
，
故解得
，
所以椭圆的标准方程为
.
（2）由（1），知
，如图，
易知直线
不能平行于
轴.
所以令直线的方程为
，
，
.
联立方程
，
得
，
所以
，
.
此时
，
同理，令直线
的方程为
，
，
，
此时
，
，
此时
.
故
.
所以四边形是平行四边形.
若
是菱形，则
，即
，
于是有
.
又
，
，
所以有
，
整理得到
，
即
，上述关于
的方程显然没有实数解，
故四边形不可能是菱形.