已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣4n，0），且f′（0）=2n，n∈N
*，数列{an}满足
，且a1=4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记
，求数列{bn}的前n项和Tn．
（3）并求出Tn的最小值．
已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣4n，0），且f′（0）=2n，n∈N*，数列{an}满足，且a1=4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
（3）并求出Tn的最小值．
【考点】数列的求和；数列的应用．
【专题】综合题；函数思想；作差法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）求出f（x）的导数，由条件可得a，b，可得f（x）的解析式，再由累加法，运用等差数列的求和公式，即可得到数列的通项；
（2）化简bn=2（
﹣
），运用裂项相消求和，即可得到所求；
（3）判断Tn=
=2﹣
在n∈N*上单调递增，即可得到所求最小值．
【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=2ax+b．
由题意知f′（0）=b=2n，16n2a﹣4nb=0，
∴a=
，b=2n，∴f（x）=x2+2nx，n∈N*．
又数列{an}满足
，f′（x）=x+2n，
∴
=
+2n，∴﹣=2n．
由叠加法可
得﹣
=2+4+6+…+2（n﹣1）=n2﹣n，化简可得an=
（n≥2）．
当n=1时，a1=4也符合上式，
∴an=
（n∈N*）．
（2）∵
=
=2（
﹣
），
∴Tn=b1+b2+…+bn=
+
+…+
=2（1﹣
+﹣
+…+
﹣
）
=2（1﹣）=
．
故数列{bn}的前n项和Tn= （n∈N*）；
（3）Tn==2﹣
在n∈N*上单调递增，
则Tn的最小值为T1=
．
【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用累加法和等差数列的求和公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查数列的单调性及运用：求最值，属于中档题．