且过点(4,
).(1)求双曲线的标准方程;
(2)直线x=3与双曲线交于M、N两点,求证:F1M⊥F2M.
且过点(4,).(1)求双曲线的标准方程;
(2)直线x=3与双曲线交于M、N两点,求证:F1M⊥F2M.
（1）解
:由双曲线的离心率为,即,则
,∴a=b,
即双曲线为等轴双曲线.
可设其方程为x2-y2=λ(λ≠0).
由于双曲线过点(4,-
),
则42-(
)2=λ.
∴λ=6.∴双曲线方程为
.
(2)证明:由(1)可得F1、F2的坐标分别为(-2
,0)、(2
,0),M、N的坐标分别为(3, 
)、(3,- 
),
∴kF1M=
,k F2M=
.
故k F1M·k F2M=
,
∴F1M⊥F2M.
点评:(1)离心率给定的问题应先研究a、b的关系,简化设方程的字母个数.
(2)λ≠0时,方程x2-y2=λ既可表示焦点在x轴上也可表示焦点在y轴上的双曲线.