首页 / 在△ABC中，已知a(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA,试判断△ABC的形状.

在△ABC中，已知a(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA,试判断△ABC的形状.

在△ABC中，已知a(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA,试判断△ABC的形状.

答案

解法一:根据余弦定理，得a(b·-c·)=(b2-c2),

去分母，得b2(a2+c2-b2)-c2(a2+b2-c2)=(b2-c2)(b2+c2-a2).

整理，得(b2-c2)(b2+c2-a2)=0,因此b=c或b2+c2=a2.

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

解法二

:根据正弦定理，得sinA(sinBcosB-sinCcosC)=(sin2B-sin2C)cosA

sinAsin2B-sinAsin2C=［(1-cos2B)-(1-cos2C)］cosA

cos2BcosA+sin2BsinA=cos2CcosA+sin2CsinA

cos(2B-A)=cos(2C-A).

∵-π＜2B-A＜π,-π＜2C-A＜π,

∴2B-A=2C-A或2B-A=A-2C.

整理，得B=C或B+C=A.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

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