如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1.
(第12题)
(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值；
(3)若BC=
，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1.
(第12题)
(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值；
(3)若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.
(1) 在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO垂直于圆O所在的平面，AC
圆O所在的平面，所以PO⊥AC.
因为PO∩DO=O，PO，DO平面PDO，所以AC⊥平面PDO.
(2) 因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，点C到AB的距离最大，且最大值为1.
又AB=2，所以△ABC面积的最大值为 
×2×1=1.
又因为三棱锥P-ABC的高PO=1，故三棱锥P-ABC体积的最大值为
×1×1=.
(3) 在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，所以PB=
=.
同理PC=，所以PB=PC=BC.
在三棱锥P-ABC中，将侧面PCB绕PB旋转至平面PBC'，使之与平面ABP共面，当O，E，C'共线时，CE+OE取得最小值.
又因为OP=OB，C'P=C'B，所以OC'垂直平分PB，即E为PB的中点.
从而OC'=OE+EC'=
+
=
，即CE+OE的最小值为.
