已知椭圆
：
经过如下五个点中的三个点：
，
，
，
，
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点
为椭圆的左顶点，
为椭圆上不同于点的两点，若原点在
的外部，且为直角三角形，求面积的最大值.
已知椭圆：经过如下五个点中的三个点：，，，，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点为椭圆的左顶点，为椭圆上不同于点的两点，若原点在的外部，且为直角三角形，求面积的最大值.
解：（Ⅰ）由
知，和不在椭圆
上，即椭圆经过，，.
于是
.
所以 椭圆的方程为：
.
（Ⅱ）①当
时，设直线
，由
得
.设
，则
，
所以
.
于是
，此时
，所以 直线
.
因为
，故线段
与
轴相交于
，即原点在线段
的延长线上，即原点在的外部，符合题设.
所以 
.
当
时取到最大值
.
②当
时，不妨设
.
设直线
，由
得
.
所以 
或
.
所以
，由
，可得直线
.
由
得
.
所以 
.
所以 线段与轴相交于
.
显然原点在线段
上，即原点在的内部，不符合题设.
综上所述，所求的面积的最大值为.