如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；
(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．
如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；
(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．
(1)证明：在图
中连接B，E，则四边形DABE为正方形，
∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D1E∥A1B.又D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.
(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)
，A1(1,0,2)．
可求得平面
的一个法向量n＝(－2,2,1)，平面
的一个法向量m＝(1，－1,1)．
设m与n的夹角为α，二面角A1－BD－C1为θ，显然θ为锐角，
∴cosα＝
＝
＝－
.
∴cosθ＝，即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为.