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已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=a,AA1=2AB,M为CC1上的点.(1)当M在C

已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=a,AA1=2AB,M为CC1上的点.

(1)当M在C1C上的什么位置时,B1M与平面AA1C1C所成的角为30°?

(2)在(1)的条件下求点B到平面AMB1的距离.

答案

解析:(1)取A1C1的中点N1,连结B1N1,N1M,

B1N1⊥面A1C1CA,即B1N1⊥MN1,

则∠B1MN1为B1M与面A1C1CA所成的角.

设C1M=x,B1N1=a,

sin∠B1MN1=.

解得x=a,则C1M=C1C,

∴当M为CC1的中点时,B1M与平面AA1C1C所成的角为30°.

(2)取BB1的中点K,连结MK,

则MK⊥面A1B1BA,

过K作KS⊥AB1,

连结MS,过K作KH⊥MS.

KH⊥面AB1MKH的长为K到面AMB1的距离.

由BB1=2B1K,则B到面AMB1的距离为K到面AMB1的距离的2倍.

在Rt△MKS中,MK=a,KS=,

KH=,

∴K到面AB1M的距离为.

∴B到面AMB1的距离为.

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