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设数列{an}的前n项和为Sn且an≠0(n∈N*),S1,S2,…,Sn,…成等比数列,试问数
设数列{an}的前n项和为Sn且an≠0(n∈N*),S1,S2,…,Sn,…成等比数列,试问数
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
且a
n
≠0(n∈N
*
),S
1
,S
2
,…,S
n
,…成等比数列,试问数列a
2
,a
3
,a
4
, …，a
n
，…成等比数列吗?证明你的结论.
答案
解
:设a
1
=a,则S
1
=a
1
=a.因为{S
n
}成等比数列,设公比为q,则S
n
=S
1
q
n-1
=aq
n-1
.当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=aq
n-1
-aq
n-2
=aq
n-2
(q-1),a
n+1
=S
n+1
-S
n
=aq
n
-aq
n-1
=aq
n-1
(q-1).
当q=1时,{S
n
}为常数列,此时a
n
=0与题设条件a
n
≠0矛盾.所以q≠1.
所以
=
=q(n≥2,n∈N
*
).
故数列a
2
,a
3
,…a
n
,…成等比数列.
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