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设数列{an}的前n项和为Sn且an≠0(n∈N*),S1,S2,…,Sn,…成等比数列,试问数

设数列{an}的前n项和为Sn且an≠0(n∈N*),S1,S2,…,Sn,…成等比数列,试问数列a2,a3,a4, …，an，…成等比数列吗?证明你的结论.

答案

解

:设a1=a,则S1=a1=a.因为{Sn}成等比数列,设公比为q,则Sn=S1qn-1=aqn-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=aqn-2(q-1),an+1=Sn+1-Sn=aqn-aqn-1=aqn-1(q-1).

当q=1时,{Sn}为常数列,此时an=0与题设条件an≠0矛盾.所以q≠1.

所以

==q(n≥2,n∈N*).

故数列a2,a3,…an,…成等比数列.


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