如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．
（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．
如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．
（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．
解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC．
∴
．
∵
，
，∴
．
（2）∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4．作AH⊥BC，垂足为点H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．
∴
，即
．
∴
，
．
又∵DE∥PQ，∴
，即
．
整理，得
．
定义域为x>0．
（3）∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ，垂足为点F，可得
，
．
∴
．
解得
．
∴
．
解得
，即
．