已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．
（Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．
已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．
（Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．
【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．
【解答】解：（Ⅰ） 因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．
①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，
解得
，所以
；
②当
时，得a+（1﹣2a）＜3，
解得a＞﹣2，所以
；
③当
时，得a﹣（1﹣2a）＜3，
解得
，所以
；
综上所述，实数a的取值范围是
．
（Ⅱ） 因为a≥1，x∈R，
所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．