设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率

设函数f(x)＝aln x＋x²－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.

（1）求b；

（2）若存在x₀≥1，使得f(x₀)＜，求a的取值范围．

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义可得函数在处的导数为曲线在点处的切线斜率，据此解出值；（2）由已知，存在，使得，等价于在上，，分、及三类情况分别进行讨论，通过函数单调区间及函数值的分布，解出符合要求的的取值范围.

试题解析：（1）(x)＝＋(1－a)x－b.由题设知(1)＝0，解得b＝1，

（2）f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x＋x²－x，

(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．

（i）若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．

所以，存在x₀≥1，使得f(x₀)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1<a<－1.

（ii）若<a<1，则>1，故当x∈时，(x)<0；

当x∈时，(x)>0.

f(x)在上单调递减，在上单调递增．

所以，存在x₀≥1，使得f(x₀)<的充要条件为.

而＝aln＋＋>，所以不合题意．

（iii）若a>1， 则f(1)＝－1＝<，符合题意．

综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．

考点：1、导数几何意义；2、利用导数求最值.

【思路点睛】本题主要考查导数的应用.在对题目的分析上，首先需要将问题化归为导数求函数最值的问题，在本题中，故可检验当自变量时，存在函数值，故当函数的最小值小于时，可满足题意，结合参数的取值范围，利用导数确定函数的单调性，进而求出的取值范围.