设函数
， 
．
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）如果存在
，使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；
（Ⅲ）如果对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围．
设函数， ．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（Ⅲ）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）
，
，
①
，函数
在
上单调递增
②
，
，函数的单调递增区间为
，函数的单调递减区间为
．
（Ⅱ）存在，使得成立
等价于：
，
考察， 
，
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 递减 | 极（最）小值 | 递增 |
|
．
由上表可知：
，
，
所以满足条件的最大整数
；
（Ⅲ）问题等价于当，
，
即当
时，
恒成立，
等价于
恒成立，
记
，所以
， 
。
记
，当
，
即函数在区间
上递增，
当
，
，即函数在区间
上递减，
取到极大值也是最大值
所以
。
另解：设
，
，
∵，
，∴
在
上递减，
且
，∴当时，
，时，
，
即函数在区间上递增，在区间上递减，
所以
，所以。
