已知函数f(x)=
,m∈R.
(1)若m=1,判断函数在定义域内的单调性.
(2)若函数在(1,e)内存在极值,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=,m∈R.
(1)若m=1,判断函数在定义域内的单调性.
(2)若函数在(1,e)内存在极值,求实数m的取值范围.
(1)显然函数定义域为(0,+∞),若m=1,由导数运算法则知
f′(x)=
,
令f′(x)=0得x=e,
当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
(2)由导数运算法则知,f′(x)=
,
令f′(x)=0得x
=em,
当x∈(0,em)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(em,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
故当x=em时,f(x)有极大值,根据题意1<em<e,即0<m<1.
【方法总结】利用导数研究函数单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求f′(x).
(3)解方程f′(x)=0在定义域内的所有实数根.
(4)将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间.
(5)确定f′(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.