首页 / 已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，

已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，

已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD.

(1)求证：EF⊥B1C；

(2)求EF与C1G所成角的余弦值.

答案

(1)证明：连结BC1、B1C,则B1C⊥BC1，又D1C1⊥平面C1B1BC，BC1是BD1在平面C1B1BC内的射影，由三垂线定理可得BD1⊥B1C.

在△BD1D中，E、F分别是D1D、BD的中点，

∴EF∥BD1，

∴EF⊥B1C.

(2)解：在D1C1上取点H，使D1H=D1C1，设正方体棱长为8，则D1H=1.

易知EH∥C1G，则∠HEF即为所求角或其补角.

又易得EH=，EF=4

，FH=.

∴由余弦定理有cos∠HEF=.

故∠HEF的补角为EF与C1G所成的角，余弦值为.

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