设函数
，
（
）.
（1）当
时，解关于
的方程
（其中
为自然对数的底数）；
（2）求函数
的单调增区间；
（3）当
时，记
，是否存在整数
，使得关于的不等式
有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
（参考数据：
，
）
设函数，（）.
（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；
（2）求函数的单调增区间；
（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
（参考数据：，）
解：（1）当时，方程即为
，去分母，得
，解得
或
，
故所求方程的根为
或
.
（2）因为
，
所以
（
）， …6分
①当
时，由
，解得；
②当
时，由，解得
；
③当
时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当
时，由，解得
.
综上所述，当时，
的增区间为
；
当
时，的增区间为
；
时，的增区间为
.
（3）方法一：当时，
，
，
所以
单调递增，
，
，
所以存在唯一
，使得
，即
， 分
当
时，
，当
时，
，
所以
，
记函数
，则
在
上单调递增，
所以
，即
，
由
，且为整数，得
，
所以存在整数满足题意，且的最小值为
.
方法二：当时，，所以，
由
得，当
时，不等式有解，
下证：当
时，
恒成立，即证
恒成立.
显然当
时，不等式恒成立，
只需证明当
时，恒成立.
即证明
.令
，
所以
，由
，得
， …14分
当
，
；当
，
；
所以
.
所以当时，恒成立.
综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为. .