(09年长郡中学一模文)(12分)
如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
![]()
(I)求证:
平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦;
(III)求点E到平面ACD的距离.

(09年长郡中学一模文)(12分)
如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
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(I)求证:
平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦;
(III)求点E到平面ACD的距离.

解析:方法一:
(I)证明:连结OC
       
………1分
       ![]()
       在
中,由已知可得![]()
       而
    ![]()
       
即
……………3分
        又![]()
      
平面
……………4分
(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知![]()
       
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………5分
        在
中,
       
……………6分
       
是直角
斜边AC上的中线,
     ……………7分
![]()
       
异面直线AB与CD所成角大小的余弦为
;……………8分
       (III)解:设点E到平面ACD的距离为![]()
     ……………9分
在
中,![]()
       
  ……………10分
而
……………11分
       
   
点E到平面ACD的距离为
……………12分
方法二:
(I)同方法一.……………4分
(II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则![]()
………………6分
       
…………7分
………9分
       
异面直线AB与CD所成角大小的余弦为
;……………8分
       (III)解:设平面ACD的法向量为
则       
……………9分
       
       令
得
是平面ACD的一个法向量.……………10分
       又
 
点E到平面ACD的距离
……………12分