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求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0.

求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0.

答案

提示：证明：（1）（必要性）若x=1是关于x的方程ax2+bx+c=0的根，把x=1代入方程得a+b+c=0；

（2）（充分性）由a+b+c=0可得出c=-a-b，

所以方程ax2+bx+c=0可化为ax2+bx-a-b=0，

即为a（x2-1）+b（x-1）=0，

即为（x-1）［a（x+1）+b］=0.

由此知当x=1时，有ax3+bx+c=0.

从而x=1是方程ax2+bx+c=0的根.

综合（1）（2）可知原结论成立.

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