已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，

已知抛物线C：y²＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．

(1)求C的方程．

(2)若直线l₁∥l，且l₁和C有且只有一个公共点E.

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．

②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意知

设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为.

因为|FA|＝|FD|，

由抛物线的定义知3＋＝，

解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．

由＝3，解得p＝2，

所以抛物线C的方程为y²＝4x.

(2)①证明：由(1)知F(1，0)．

设A(x₀，y₀)(x₀y₀≠0)，D(x_D，0)(x_D>0)．

因为|FA|＝|FD|，则|x_D－1|＝x₀＋1，

由x_D>0得x_D＝x₀＋2，故D(x₀＋2，0)．

故直线AB的斜率k_AB＝－.

因为直线l₁和直线AB平行，

设直线l₁的方程为y＝－x＋b，

代入抛物线方程得y²＋y－＝0，

由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.

设E(x_E，y_E)，则y_E＝－，x_E＝.

由y＝4x₀，

整理可得y＝(x－1)，

直线AE恒过点F(1，0)．

当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)．

所以直线AE过定点F(1，0)．

②由①知，直线AE过焦点F(1，0)，

所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x₀＋1)＋＝x₀＋＋2.

设直线AE的方程为x＝my＋1，

因为点A(x₀，y₀)在直线AE上，

故m＝.

设B(x₁，y₁)．

直线AB的方程为y－y₀＝－(x－x₀)，

由y₀≠0，得x＝－y＋2＋x₀.

代入抛物线方程得y²＋y－8－4x₀＝0，

所以y₀＋y₁＝－，

可求得y₁＝－y₀－，x₁＝＋x₀＋4.

所以点B到直线AE的距离为

当且仅当＝x₀，即x₀＝1时，等号成立．

所以△ABE的面积的最小值为16.