如图，一条光纤线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=40千米，
∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线路．
（1）求新铺设的光纤线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）
如图，一条光纤线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=40千米，
∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线路．
（1）求新铺设的光纤线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）
【分析】（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，利用∠CAD的正弦和余弦分别求出CD、AD，再利用∠CBA的正切求出BD，然后根据AB=AD+BD计算即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出BC，然后列式计算即可得解．
【解答】解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=AC•sin30°=40×
=20（千米），
AD=AC•cos∠CAD=AC•cos30°=40×
=20
（千米），
在Rt△BCD中，BD=
=
=
=20（千米），
∴AB=AD+DB=20
+20=20（
+1）（千米），
则新铺设的光纤线路AB的长度20（+1）（千米）；
（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC=
=
=20
（千米），
所以AC+CB﹣AB=40+20﹣20（+1）=20（1+﹣）（千米），
则整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了20（1+﹣）千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，主要利用了锐角三角函数，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．