解析
:∵a10=0,∴a1+a19=a2+a18=…=a19-n+an+1=…=2a10=0.
∴a1+a2+…+a19-n=-(a19+a18+…+an+1).
又∵S19=a1+a2+…+an+an+1+…+a19
=
=19a10=0,
∴a1+a2+…+an=-(an+1+an+2+…+a19).
∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n.
我们从更一般的角度来分析等差数列{an}.
由题设,如果ak=0,那么有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a2k-1-n(n<2k-1,n∈N*)成立.
又如果k+n=p+q,其中k、n、p、q是自然数,
对于等差数列{an},则有ak+an=ap+aq;
对于等比数列{bn},则有bkbn=bpbq.
这样我们可以得出结论.
如果bk=1,则有等式
b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n<2k-1,n∈N*)①
成立.结合本题k=9.
2k-1-n=2×9-1-n=17-n.
∴应填b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).
证明:∵b9=1,
∴b1b17=b2b16=…=bn+1b17-n=…=b92=1.
∴(b1b17)(b2b16)…(b8b10)b9=1.
∴b1b2…bnbn+1…b17=1(n<17,n∈N*).
∴b1b2…bn=
.
又∵
=b1,
=b2,…,
=b17-n,
∴b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).
答案:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)