(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
解析:(1)∵f(x)+2x＞0的解集为(1,3),
f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a＜0,因而
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a,①
由方程f(x)+6a=0得
ax2-(2+4a)x+9a=0.②
因为方程②有两个相等的根,
所以Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0,
即5a2-4a-1=0.
解得a=1或a=-
由于a＜0,舍去a=1.将a=-
f(x)的解析式
f(x)=- 
x-
.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a
=a(x-
,及a＜0,可得f(x)的最大值为-
由
解得a＜-2-
＜a＜0.故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,0).