已知函数的最小正周期为π，直线为它的图象的一条对称轴．（1）当

已知函数的最小正周期为π，直线为它的图象的一条对称轴．

（1）当时，求函数f（x）的值域；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．

【考点】余弦函数的图象．

【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．

【分析】（1）根据三角函数的性质求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．

（2），求出角A的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c≤6．

【解答】解：（1）∵函数的周期是π，

∴T=，则ω=2，

则f（x）=2cos（2x+φ），

∵为它的图象的一条对称轴，

∴2×（﹣）+φ=kπ，k∈Z，

即φ=kπ+，

∵0＜φ＜，

∴当k=0时，φ=，

即f（x）=2cos（2x+），

若时，2x∈，

2x+∈，

即当2x+=0时，函数f（x）取得最大值此时f（x）=2，

当2x+=时，函数f（x）取得最小值此时f（x）=0，

即函数的值域为．

（2）若，

则2cos=2cos（﹣A+）=，

即cos（﹣A+）=，

额cos（A﹣）=，

∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，

即A﹣=，

即A=，

∵a=3，

∴由余弦定理得a²=b²+c²﹣2bccos=b²+c²﹣bc=9，

即（b+c）²﹣3bc=9

即3bc=（b+c）²﹣9，

∵bc≤（）²，（b+c）²﹣9≤3（）²，

即4（b+c）²﹣36≤3（b+c）²，

则（b+c）²≤36，

即0＜b+c≤6，

即b+c的最大值是6．

【点评】本题主要考查了三角函数解析式的求解，利用三角函数的性质求出函数的解析式，以及利用余弦定理，基本不等式的是解决本题的关键．综合性较强．