,a≠1).记区间Dn=［1,an］(an＞1).当x∈Dn时,曲线C上存在点Pn(xn,f(xn)),使得点Pn处的切线与直线AAn平行.(1)试判断:数列{loga(xn-1)+1}是什么数列;
(2)当Dn
Dn+1对一切n∈N
(3)记数列{an}的前n项和为Sn,当a=
时,试比较Sn与n+7的大小,并说明你的结论.
(文)已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是定义在R
上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点.若点B的坐标为(2,0),且f(x)在［-1,0］和［4,5］上有相同的单调性,在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性.(1)求c的值.
(2)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)求|AC|的取值范围.
答案：
(理)解:(1)是等比数列.2分由点Pn处的切线与直线AAn平行可知,xn=.由xn+1=af(xn-1)+1(a＞0,a≠,a≠1)可知xn+1-1=a(xn-1)2,则loga(xn+1-1)=2loga(xn-1)+1.设bn=loga(xn-1),则bn+1+1=2(bn+1).又b1=loga(x1-1)=loga2,因此数列{bn+1}是以b1+1为首项,2为公比的等比数列,即{loga(xn-1)+1}是等比数列.
则bn+1=(loga2+1)·2n-1,即bn=(loga2+1)·2n-1-1=loga,∴xn=1+
.
(2)由条件xn=
可知an=1+
.由Dn
Dn+1知an＞an+1,即
［1-
］＞0,则［1-
］＞0,即0＜a＜
.
(3)数列{an}的前n项和Sn,当a=
时,an=1+
=1+8
.
Sn=n+8［
+(
)2+(
)4+…+
］.可以证明:当n≥4,有2n-1＞n+1;∴当n≤3时,Sn≤n+8［
+(
)2+(
)4］=n+
＜n+7;
当n≥4时,Sn＜n+8［
+(
)2+(
)4+(
)5+(
)6+…+(
)n+1］=n+7-(
)n-2＜n+7,则Sn＜n+7.
(文)解：(1)∵f(x)在［-1,0］和［0,2］上有相反的单调性,∴x=0是f(x)的一个极值点.故f′(0)=0,2分即3ax2+2bx+c=0有一个解x=0,则c=0.
(2)∵f(x)交x轴于点B(2,0),∴8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a).令f′(x)=0得3ax2+2bx=0,x1=0,x2=
.
∵f(x)在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性,∴
∴-6≤
≤-3.
假设存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b,则f′(x0)=3b,即3ax02+2bx0-3b=0.
∵Δ=(2b)2-4×3a×(-3b)=4b2+36ab=4ab(
+9),而-6≤
≤-3,∴Δ＜0.故不存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b.
(3)设A(α,0),C(β,0),依题意可令f(x)=a(x-α)(x-2)(x-β)=a［x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ］,
则
即
∴|AC|=|α-β|=
=
=
.〔∵d=-4(b+2a)〕∵-6≤
≤-3,∴当
=-6时,|AC|max=
;当
=-3时,|AC|min=3.故3≤|AC|≤
.