如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝C

如图，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E为棱AA₁的中点.

(Ⅰ)证明：B₁C₁⊥CE；

(Ⅱ)求二面角B₁－CE－C₁的正弦值；

方法一：　如图，以点A为原点，以AD，AA₁，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B₁(0,2,2)，C₁(1,2,1)，E(0,1,0).    …………………………………………………………………………………3分

(1)证明　易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0， 

所以B₁C₁⊥CE.      ………………………………………………………………5分

(2)解　＝(1，－2，－1). 

设平面B₁CE的法向量m＝(x，y，z)，

则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1).   ………………………………………………………… 8分

由(1)知，B₁C₁⊥CE，又CC₁⊥B₁C₁，可得B₁C₁⊥平面CEC₁，故＝(1,0，－1)为平面CEC₁的一个法向量.      ……………………………………………………………………10分

于是cos〈m，〉＝＝＝－，      ……………………11分

从而sin〈m，〉＝，所以二面角B₁－CE－C₁的正弦值为.    ………12分

方法二　(1)证明　因为侧棱CC₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，B₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，所以CC₁⊥B₁C₁.

经计算可得B₁E＝，B₁C₁＝，EC₁＝，

从而B₁E²＝B₁C＋EC，

所以在△B₁EC₁中，B₁C₁⊥C₁E，……………………2分

又CC₁，C₁E⊂平面CC₁E，CC₁∩C₁E＝C₁，所以B₁C₁⊥平面CC₁E，

又CE⊂平面CC₁E，故B₁C₁⊥CE. ……………………5分

(2)解　过B₁作B₁G⊥CE于点G，连接C₁G.

由(1)知，B₁C₁⊥CE，故CE⊥平面B₁C₁G，得CE⊥C₁G，所以∠B₁GC₁为二面角B₁－CE－C₁的平面角.  ……………………………………………………………………………………9分

在△CC₁E中，由CE＝C₁E＝，CC₁＝2，可得C₁G＝.

在Rt△B₁C₁G中，B₁G＝，所以sin ∠B₁GC₁＝，

即二面角B₁－CE－C₁的正弦值为.   …………………………………………12分