(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;
(2)证明对任意θ≠kπ+
(k∈Z),方程无纯虚数根.
(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;
(2)证明对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根.
剖析:(1)对于复数方程存在实根的问题,一般可先设出实根,然后再利用复数相等的条件求解.
(2)直接证明有困难时,可用反证法.
(1)解:设实数根为α,则α2-(tanθ+i)α-2(2+i)=0,
即α2-tanθ·α-2-(α+1)i=0.
∴
又θ∈(0,
),∴θ=
,α=-1.
(2)证明:若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),则(βi)2-(tanθ+i)·(βi)-(2+i)=0.
∴
此方程组无解,
∴原方程没有纯虚数根.