(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:x=1是y=f(x)的对称轴;
(3)求y=f(x)关于x=2对称的图象y=g(x)的解析式.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:x=1是y=f(x)的对称轴;
(3)求y=f(x)关于x=2对称的图象y=g(x)的解析式.
(1)解
:因为f(x)在x=1时有最大值2,在x=7时有最小值-2,又T=2(7-1)=12,所以ω=
=
,A=2,
所以f(x)=2sin(
+φ).
又图象过(1,2)点,
所以2sin(
+φ)=2.
结合0＜φ＜π,
可得φ=
,
所以f(x)=2sin(
x+
).
(2)证明
:因为f(1+t)=2sin［
(1+t)+
］=2sin(
+
t)=2cos(
t),
f(1-t)=2sin［
(1-t)+
］
=2sin(
-
t)=2cos(
t),
所以f(1+t)=f(1-t).
所以x=1是y=2sin(
x+
)图象的对称轴.
(3)解
:与y=f(x)关于x=2对称的函数为y=f(4-x),所以g(x)=f(4-x)=2sin［
(4-x)+
］
=2sin(
x),即g(x)=2sin(
x).