如图，在平面直角坐标系中，抛物线
交
轴于
，
两点，交
轴于点
，且
，点
是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若
，求点的坐标；
（3）连接
，求
面积的最大值及此时点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
（1）
；（2）（
，
）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，
）．
【解析】
（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则
，设点P为（，
），则点D为（，
），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）在抛物线中，
令
，则
，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴
，
，
∴点A为（
，0），点B为（
，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：
，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则
，
解得：
，
，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为
，则
把点A、C代入，得
，解得：
，
∴直线AC的解析式为
；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴
，
∵OA=4，
∴当
时，S△APC取最大值8；
∴
，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．