如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2
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(1)证明PA∥平面BDE；
(2)证明AC⊥平面PDB；
(3)求直
线BC与平面PDB所成的角的正切值．
如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.
(1)证明PA∥平面BDE；
(2)证明AC⊥平面PDB；
(3)求直线BC与平面PDB所成的角的正切值．
解 (1)证明：连接AC，设
AC∩BD＝H，连接EH.
在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．
又由题设E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.
(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.
(3)由AC⊥平面PBD，可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2，可得DH＝CH＝
，BH＝
.
在Rt△BHC中，tan∠CBH＝
＝
.
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.