已知函数f(x)＝－x3＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求过点P(－1,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
(2)当x∈[0,1]时，不等式
x－≤f(x)≤x＋恒成立，求a的取值集合．
已知函数f(x)＝－x3＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求过点P(－1,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
(2)当x∈[0,1]时，不等式x－≤f(x)≤x＋恒成立，求a的取值集合．
(1)a＝1时，f(x)＝－x3＋x，则f ′(x)＝－3x2＋1，
设切点T(x0，y0)，则f ′(x0)＝－3x
＋1，
∴切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，
即y－(－x
＋x0)＝(－3x＋1)(x－x0)．
把(－1,0)代入得(x0＋1)2(2x0－1)＝0，
∴x0＝－1或x0＝
.
当x0＝－1时，切线方程为y＝－2x－2；
当x0＝时，切线方程为y＝x＋.
(2)不等式x－≤f(x)≤x＋，
即x－≤－x3＋ax≤x＋，
①当x＝0时，不等式显然成立．
②当x∈(0,1]时，不等式化为－
＋x2≤a≤＋＋x2，
设g(x)＝－＋x2，h(x)＝＋＋x2，
则g′(x)＝
＋2x>0，∴g(x)在(0,1]上单调递增，
∴g(x)max＝g(1)＝1，h′(x)＝
，
∴h(x)在(0，]上单调递减，在(，1]上单调递增，
∴h(x)min＝h()＝1，
∴1≤a≤1，∴a＝1.
综上知，a的取值集合为{1}.