（本小题满分12分）已知对任意的实数m,直线
都不与曲线
相切．
（I）求实数
的取值范围；
（II）当
时，函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于
.试证明你的结论．
（本小题满分12分）已知对任意的实数m,直线都不与曲线相切．
（I）求实数的取值范围；
（II）当时，函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于.试证明你的结论．
解：（I）
， …………2分
∵对任意
，直线
都不与
相切，
∴
，
，实数
的取值范围是
； …………4分
（II）存在，证明方法1：问题等价于当
时，
，
设
，则
在上是偶函数，故只要证明当
时，，①当
上单调递增，且
，
； …………6分
②当
，列表：
|
|
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
|
| 极大 |
| 极小 |
|
在
上递减，在
上递增， …………8分
注意到
，且
，
∴
时，
，
时，，
∴
，…………10分
由
及
，解得
，此时
成立．
∴
．
由
及，解得
，此时
成立．
∴
．
∴在上至少存在一个
，使得
成立． …………12分
（II）存在，证明方法2：反证法
假设在上不存在，使得成立，即
，
，
设，则在上是偶函数，
∴时，
， …………4分
①当
上单调递增，且，
，
与
矛盾； …………6分
②当，列表：
|
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|
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|
|
|
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| + | 0 | - | 0 | + |
|
|
| 极大 |
| 极小 |
|
在上递减，在上递增， …………8分
注意到，且，
∴时，，时，，
∴，……………10分
注意到，由：
，
矛盾；
，
矛盾；
∴，与矛盾，
∴假设不成立，原命题成立． …………12分
