如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
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如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
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解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴B点与E点关于PQ对称．
∴BP=PE，BF=FE，∠BPF=∠EPF．
又∵EF∥AB，
∴∠BPF =∠EFP．
∴∠EPF =∠EFP．
∴EP=EF．
∴BP=BF=FE=EP．
∴四边形BFEP为菱形．
（2）①如图2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm．
在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2，即DE2=52-32，
∴DE=4cm．
∴AE=AD-DE=5 cm -4 cm =1 cm．
∴在Rt△APE中，AE=1，AP=3-PB=3-EP．
即EP2=12+(3-EP)2，解得EP=
cm．
∴菱形BFEP边长为cm．
②当点Q与点C重合时，如图2，点E离A点最近，由①知，此时AE=1cm．
当点P与点A重合时，如图3，点E离A点最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．