如图，抛物线
与 x 轴交于 A , B 两点（点 A 在点 B 的 左 侧 ）， 与 y 轴交于点 C ，连接
AC , BC .点 P 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ，点 P 的横坐标为 m ，过 点 P 作 PM ^ x 轴 ，垂 足 为点 M ， PM 交 BC 于点 Q ，过点 P 作 PE∥ AC 交 x 轴于点 E ，交 BC 于点 F .
（ 1） 求 A ， B ， C 三点的坐标；
（ 2） 试探究在点 P 的 运 动 的 过 程 中 ，是 否 存 在 这 样 的 点 Q ，使 得 以 A ， C ， Q 为 顶 点 的 三 角 形 是
等腰三角形 .若 存 在 ， 请 直．接．写出此时点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说明理由；
（ 3） 请用含 m 的 代 数 式 表 示 线 段 QF 的长，并求出 m 为 何 值 时 QF 有最大值 .
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【考点】 几 何 与 二 次 函 数 综 合
【解析】
（ 1） 解： 由 y = 0 ，得
解得 x1 = -3 ， x2 = 4 .
\ 点 A ， B 的坐标分别为 A(-3,0)， B（ 4， 0）
由 x = 0 ，得 y = -4 .\ 点 C 的 坐 标 为 C（ 0， -4） .
1
（ 2） 答： Q ( 5
2 , 5
2
2 - 4) ， Q (1,-3) .
2
2
（ 3） 过点 F 作 FG ^ PQ 于点 G .
则 FG∥x 轴 . 由 B（ 4， 0）， C（ 0， -4），得 △O B C为 等 腰 直 角 三 角 形 .
\ ÐOBC = ÐQFG = 45° . \ GQ = FG =
FQ .
PE∥ AC , \ Ð1 = Ð2 .
FG∥x 轴，\ Ð2 = Ð3 . \ Ð1 = Ð3 .
ÐFGP = ÐAOC = 90° , \ △FGP∽△AOC .
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