证明：(1)0＜an+1＜an＜1;(2)an+1＜
an3.
证明：(1)0＜an+1＜an＜1;(2)an+1＜an3.
证明：
(1)先用数学归纳法证明0＜an＜1,n=1,2,3,….①当n=1时,由已知,结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即0＜ak＜1.
∵0＜x＜1时,f′(x)=1-cosx＞0,
∴f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在［0,1］上连续,
从而f(0)＜f(ak)＜f(1),即0＜ak+1＜1-sin1＜1,
故当n=k+1时,结论成立.
由①②可知0＜an＜1对一切正整数都成立.
又∵0＜an＜1时,
an+1-an=an-sinan-an=-sinan＜0,
∴an+1＜an.综上所述0＜an+1＜an＜1.
(2)设函数g(x)=sinx-x+x3,0＜x＜1.
由(1)知,当0＜x＜1时,sinx＜x.
从而g′(x)=cosx-1+
=-2sin2
+
＞-2(
)2+
=0.
∴g(x)在(0,1)上是增函数.
又g(x)在［0,1］上连续,且g(0)=0,
∴当0＜x＜1时,g(x)＞0成立.
于是g(an)＞0,即sinan-an+
an3＞0.故an+1＜
an3.