在平面直角坐标系
中，已知椭圆
.如图所示，斜率为
且不过原点的直线
交椭圆
于
，
两点，线段
的中点为
，射线
交椭圆于点
，交直线
于点
.
（Ⅰ）求
的最小值；
（Ⅱ）若
∙
，（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于
轴对称？若能，求出此时
的外接圆方程；若不能，请说明理由.
在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意:设直线
,
由
消y得:
,设A
、B
,AB的中点E
,则由韦达定理得: 
=
,即
,
,所以中点E的坐标为E
,因为O、E、D三点在同一直线上，所以
，即
，解得
，所以=
,当且仅当
时取等号,即的最小值为2.
（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为
,所以由
得交点G的纵坐标为
,又因为
,
,且∙，所以
,又由（Ⅰ）知: ,所以解得
,所以直线的方程为
,即有
,令
得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).
（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,
由（i）知点G(
,所以点B(
,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为
，又因为，所以解得
或6，又因为
,所以
舍去,即
，此时k=1，m=1，E
，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为
，G(
,圆半径为
，圆的方程为
.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.