如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A（2，1）， （1）

如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A（2，1），

（1）求出二次函数的表达式；

（2）我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．

（3）过y轴的正半轴上一点C（0，a）作AO的平行线交抛物线于点B，

①求出直线BC的函数表达式（用a表示）；

②如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．

【考点】二次函数综合题；奇数与偶数；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．

【专题】综合题．

【分析】（1）可设抛物线的解析式为y=ax²，然后只需把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；

（2）由抛物线的解析式可知，要使y是整数，只需x是偶数，故x可用2n表示（n为整数），由此就可解决问题；

（3）①可运用待定系数法求出直线OA的解析式，然后根据两直线平行一次项的系数相同，就可得到直线BC的函数表达式；②由于点B是整点，点B的坐标可表示为（2n，n²），代入直线BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根据平行等积法可得S_△OAB=S_△OAC=n（n﹣1），由于n与n﹣1是相邻整数，必然一奇一偶，因而n（n﹣1）是偶数，问题得以解决．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²，

把A（2，1）代入y=ax²，得

1=4a，

解得a=，

∴二次函数的表达式为y=x²；

（2）抛物线上整点坐标可表示为（2n，n²），其中n为整数；

（3）①设直线OA的解析式为y=kx，

把点A（2，1）代入y=kx，得

1=2k，

解得k=，

∴直线OA的解析式为y=x，

则过点C（0，c）与直线OA平行的直线的解析式为y=x+c；

②证明：∵点B是整点，

∴点B的坐标可表示为（2n，n²），其中n为整数，

把B（2n，n²）代入y=x+c，得

n²=n+c，

∴c=n²﹣n=n（n﹣1）．

∵BC∥OA，

∴S_△OAB=S_△OAC=×c×2=c=n（n﹣1）．

∵n为整数，∴n与n﹣1一奇一偶，

∴n（n﹣1）是偶数，

∴△OAB的面积是偶数．

【点评】本题主要考查了运用待定系数法求直线与抛物线的解析式、两直线平行问题、直线上点的坐标特征、平行等积法、奇数与偶数等知识，运用平行等积法是解决第（3）②小题的关键．