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已知P(a,b)是圆x2+y2=r2外一定点,PA、PB是过P点的该圆的两条切线,A、B为

已知P(a,b)是圆x2+y2=r2外一定点,PA、PB是过P点的该圆的两条切线,A、B为切点.求证:直线AB的方程为ax+by=r2.

答案

证法一:设点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则过A、B两点的切线方程分别为

∵P点在两条切线上,故（a,b）满足方程（1）(2),即

由(3)(4)(x1,y1)、B(x2,y2)是直线ax+by=r2上的点,由已知,得A、B是两个不重合的点,两点确定一条直线,故ax+by=r2就是直线AB的方程.

证法二:如图所示,A、O、B、P四点共面,且以OP为直径的圆的方程为(x-

a)2+(y-b)2=

(a2+b2),

即x2+y2-ax-by=0.       (5)

又圆的方程为x2+y2=r2， (6)

由(6)-(5),得ax+by=r2即为过切点A、B的直线方程.


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