已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0）

已知，抛物线y＝ax²+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax²+ax+b有一个公共点M（1，0），

∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，

∴y＝ax²+ax+b＝ax²+ax﹣2a＝a（x+）²﹣，

∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；

（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），

∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2，

∴y＝2x﹣2，

则，

得ax²+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，

∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0，

解得x＝1或x＝﹣2，

∴N点坐标为（﹣2，﹣6），

∵a＜b，即a＜﹣2a，

∴a＜0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，

∴E（﹣，﹣3），

∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），

设△DMN的面积为S，

∴S＝S_△DEN+S_△DEM＝|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|＝，

（3）当a＝﹣1时，

抛物线的解析式为：y＝﹣x²﹣x+2＝﹣（x+）²+，

有，

﹣x²﹣x+2＝﹣2x，

解得：x₁＝2，x₂＝﹣1，

∴G（﹣1，2），

∵点G、H关于原点对称，

∴H（1，﹣2），

设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x+t，

﹣x²﹣x+2＝﹣2x+t，

x²﹣x﹣2+t＝0，

△＝1﹣4（t﹣2）＝0，

t＝，

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），

把（1，0）代入y＝﹣2x+t，

t＝2，

∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．