在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F

在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．

（1）求证：

（2）若，求EC的长；

（3）若，记，求的值．

（1）证明过程见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；

（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到，从而求出EC的长；

（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF=，所以tan+tan=，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan+tan=即可．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，

∴∠AFB+∠BAF=90°，

∵△AFE是△ADE翻折得到的，

∴∠AFE=∠D=90°，

∴∠AFB+∠CFE=90°，

∴∠BAF=∠CFE，

∴△ABF∽△FCE．

（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，

∴AF=AD=4，

∴BF=，

∴CF=BC-BF=AD-BF=2，

由（1）得△ABF∽△FCE，

∴，

∴，

∴EC=．

（3）

解：由（1）得△ABF∽△FCE，

∴∠CEF=∠BAF=，

∴tan+tan=，

设CE=1，DE=x，

∵，

∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=

∵△ABF∽△FCE，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴x²-4x+4=0，

解得x=2，

∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF= AD==，

∴tan+tan==．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题．