(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值.
(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出|AF|；若不存在，请说明理由.
(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值.
(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出|AF|；若不存在，请说明理由.
解析：(1)以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AC=2a,∠ABC=90°,
∴AB=BC=
∴B(0,0,0),C(0, 
a,0,0),A1(
a,0,3a),C1(0, 
a,3a),B1(0,0,3a).∴D(
a,3a),E(0,
a,
a).∴
a,-
a,3a),
=(0,
a,
a).∴|
a,|
|=
a.∴
=0-a2+
a2=
a2.∴cosθ=
.(2)假设存在点F，要使
⊥
且
⊥
.不妨设AF=b,则F(
=(
a,-
a,b), 
=(
a,0,b-3a), 
=(
a,
a,0).∵
=a2-a2=0,∴
恒成立.
=2a2+b(b-3a)=0
b=a或b=2a,故当|
|=a或2a时，
⊥平面B1DF.