如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴

如图，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；

(3)点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．

解：(1)由题意得，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x²－4x＋3；

(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，

第5题解图①

由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，

∴∠OCB＝45°.

同理可知∠OFE＝45°，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∵PG∥CF，

∴△GPE为等腰直角三角形，

∵F(0，m)，C(0，3)，

∴CF＝3－m，

∵△CEF∽△GEP

∴EF＝CF＝(3－m), PE＝PG，

设P(t，t²－4t＋3)(1<t<3), 则G(t，－t＋3)PE＝PG＝(－t＋3－t－m)＝(－m－2t＋3)，

∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，

∴t²－4t＋3＝t＋m，

∴PE＋EF＝(3－m)＋(－m－2t＋3)＝(－2t－2m＋6)＝－(t＋m－3)＝－(t²－4t)＝ －(t－2)²＋4，

∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为4；

(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.

第5题解图②

当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：

(ⅰ)D在C上方D₁位置时，由勾股定理得CD＋BC²＝BD，即(2－0)²＋(n－3)²＋(3)²＝(3－2)²＋(0－n)² ，解得n＝5；

(ⅱ)D在C下方D₂位置时，由勾股定理得BD＋BC²＝CD，

即(2－3)²＋(n－0)²＋(3)²＝(2－0)²＋(n－3)² ，解得n＝－1，

综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．