（10分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱
中，P是侧棱
上的一点，
.
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；
（2）在线段
上是否存在一个定点
，使得对任意的m，
⊥AP，并证明你的结论.
（10分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，.
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；
（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，⊥AP，并证明你的结论.
解析：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),
B1(1,1,1), D1(0,0,2).
所以
又由
的一个法向量.
设
与
所成的角为
，
则
=
，解得
.
故当时，直线AP与平面
所成角为60º. …………………………5分
（２）若在
上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则
.
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于
的中点时，满足题设的要求. ………………………10分