已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）． （1

已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P

①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；

②是否存在这样的k值，使得△ABP的面积是△ABD面积的？如果存在求出k值；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据顶点坐标，可得顶点式解析式，根据待定系数法，可得答案；

（2）根据切线的性质，可得CE与CA的关系，根据直角三角形的性质，可得∠EDC的度数，根据正切函数，可得答案；

（3）根据解方程组，可得P点坐标，根据三角形的面积间的关系，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．

【解答】解：（1）由抛物线的顶点为（0，4），

可设抛物线解析式为y=ax²+4．

由抛物线过点（2，0），得

0=4a+4，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x²+4；

（2）①如图，连接CE，CD．

∵OD是⊙C的切线，

∴CE⊥OD．

在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，

∴∠EDC=30°．

∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，

∴OC=CDtan30°=，

∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时，k=OC=；

②平移k个单位后的抛物线的解析式是y=（x﹣k）²+4

它与y=x²+4交于点P，可得点P的坐标是（，﹣ +4），

∴当k＜4时，S_△ABP=AB•y_P=×4（4﹣）=8﹣；

当k＞4时，S_△ABP=AB•y_P=×4（﹣4）=﹣8

又∵S_△ABD=AB•_D=×4×4=8，

∴或，解得k=2或k=2．

【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用切线的性质得出CE的长，利用直角三角形的性质得出∠EDC的度数，又利用了正切函数；（3）利用三角形面积间的关系得出关于k的方程是解题关键，注意要分类讨论，以防遗漏．