已知双曲线的中心在原点,焦点Ｆ1、Ｆ2在坐标轴上,离心率为2,且过点

已知双曲线的中心在原点,焦点Ｆ₁、Ｆ₂在坐标轴上,离心率为2,且过点.

(1)求此双曲线方程;

(2)若直线系kx-y-3k+m=0(其中k为参数)所过的定点M恰在双曲线上,求证：Ｆ₁M⊥Ｆ₂M.

答案

(1)解

∴.

可设双曲线方程为x²-y²=λ.

∵点(4,)在双曲线上,

∴λ=4²-10=6.

因此所求双曲线方程为x²-y²=６.

(2)证明

:直线系k(x-3)+(m-y)=0过的定点M(3,m)在双曲线上,

∴3²-m²=6.

∴.∴M(3,).

又双曲线焦点F₁(,0)、F₂(,0),

∴k_F_1M· k_F_2M=-1.

∴F₁M⊥F₂M.

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