已知曲线f（x）=aex﹣x+b在x=1处的切线方程为y=（e﹣1）x﹣1 （Ⅰ）求f

已知曲线f（x）=ae^x﹣x+b在x=1处的切线方程为y=（e﹣1）x﹣1

（Ⅰ）求f（x）的极值；

（Ⅱ）证明：x＞0时，＜exlnx+2（e为自然对数的底数）

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据系数对应相等，求出a，b的值，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）问题等价于xln x＞xe^﹣x﹣，分别令g（x）=xlnx，h（x）=xe^﹣x﹣，根据函数的单调性证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae^x﹣1，f（1）=ae﹣1+b，f′（1）=ae﹣1，

故切线方程是：y﹣ae+1﹣b=（ae﹣1）（x﹣1），

即y=（ae﹣1）+b=（e﹣1）x﹣1，

故a=1，b=﹣1，

故f（x）=e^x﹣x﹣1，f′（x）=e^x﹣1，

令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，

故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，

故f（x）_极小值=f（0）=0；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）f（x﹣1）+x=e^x﹣1，

故问题等价于xln x＞xe^﹣x﹣

设函数g（x）=xln x，

则g′（x）=1+ln x，

所以当x∈（0，）时，g′（x）＜0；

当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．

故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣，

设函数h（x）=xe^﹣x﹣，则h′（x）=e^﹣x（1﹣x）．

所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．

故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣；

因为g_min（x）=h（1）=h_max（x），

所以当x＞0时，g（x）＞h（x），

故x＞0时，＜exlnx+2．