如图，已知抛物线
与圆
相交于A、B、C、D四个点。
（Ⅰ）求r的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。
如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。
（Ⅰ）求r的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅰ）将抛物线
代入圆
的方程，消去
，整理得
．．．．．．．．．．．．．（1）
抛物线与圆相交于
、
、
、
四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根
∴
即
。解这个方程组得
.
（II） 设四个交点的坐标分别为
、
、
、
。
则由（I）根据韦达定理有
，
则
令
，则
下面求
的最大值。
方法1：由三次均值有：
当且仅当
，即
时取最大值。经检验此时满足题意。
法2：设四个交点的坐标分别为、、、
则直线AC、BD的方程分别为
解得点P的坐标为
。
设
，由
及（Ⅰ）得
由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积
则
将
，
代入上式，并令
，等
，
∴
，
令
得
，或
（舍去）
当
时，
；当时；当
时，
故当且仅当时，
有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。